Untuk Kebersamaan

Tampilkan postingan dengan label Sejarah Matematika. Tampilkan semua postingan

Teka-teki Matematika

Berikut ini satu contoh teka-teki yang sangat terkenal*. Sering dipakai oleh banyak orang untuk berteka-teki. Walaupun “angka-angka” dan konteks yang dipakai dalam teka-teki berikut ini seringkali berbeda, tetapi prinsip teka-tekinya tetaplah sama**.

Tiga sekawan masuk ke hotel untuk menginap. Kata petugas, harga sewa kamarnya Rp. $300.000$ . Masing-masing mengumpulkan uang Rp. $100.000$ untuk membayarnya. Setelah ketiga orang tadi pergi menuju kamar, sang petugas sadar bahwa harga sewa kamarnya seharusnya cuma Rp. $250.000$ .

Kemudian sang petugas meminta Bel-boy untuk menyerahkan uang Rp. $50.000$ kepada ketiga orang tadi. Karena uang Rp. $50.000$ berbentuk pecahan Rp $10.000$ , si Bel-boy hanya menyerahkan uang kepada ketiga orang tadi sebesar Rp. $30.000$ , sedangkan yang Rp. $20.000$ disimpan untuknya. Uang yang Rp. $30.000$ tersebut dibagi-bagi ke tiga orang tadi, masing-masing Rp. $10.000$ .

Sehingga, bila dihitung-hitung, masing-masing orang hanya membayar Rp. $90.000$ . Jadi, bertiga sebenarnya membayar $3 \times$ Rp. $90.000 =$ Rp $270.000$ . Bila ditambahkan ke uang Rp. $20.000$ yang dipegang si Bel-boy, maka jumlahnya Rp. $290.000$ . Lantas yang Rp. $10.000$ lagi ke mana?

Bagaimana, apakah Anda dapat memecahkan teka-teki tersebut? Bila belum, Anda boleh membaca pemecahannya seperti uraian berikut. Bila Anda dapat memecahkannya, saya ucapkan selamat atas keberhasilannya. Namun Anda pun boleh membandingkannya dengan cara pemecahan berikut ini.

Sebenarnya uang yang Rp. $10.000$ tidak pergi ke mana-mana. Tidak hilang, tidak lenyap. Jumlah uang yang beredar di teka-teki tersebut tetap saja Rp $300.000$ . Tapi apa buktinya? Mari kita hitung perlahan-lahan.
Uang yang diterima petugas mula-mula Rp. $300.000$ kemudian diserahkan ke Bel-boy Rp. $50.000$ sehingga uang yang kini dipegang petugas Rp. $250.000$ .
Oleh Bel-boy, uang sebesar Rp. $50.000$ cuma diserahkan sebesar Rp. $30.000$ ke ketiga orang tadi. Sehingga si Bel-boy sekarang memegang Rp. $20.000$ .
Karena ketiga orang tersebut menerima kembali uang mereka sebesar Rp. $30.000$ dan masing-masing orang kebagian Rp. $10.000$ , maka ini artinya mereka masing-masing mengeluarkan uang Rp. $90.000$ . Karena ada tiga orang, ini artinya mereka bersama mengeluarkan $3 \times$ Rp. $90.000 =$ Rp. $270.000$ . Nah, jumlah uang ini sama dengan uang yang dipegang petugas (Rp. $250.000$ ) ditambah uang yang sekarang dipegang Bel-boy (Rp. $20.000$ ), yaitu Rp. $250.000 +$ Rp. $20.000=$ Rp. $270.000$ .
Nah, bila uang Rp. $270.000$ itu kita tambah dengan uang yang diserahkan ke ketiga orang tadi, yaitu Rp. $30.000$ maka jumlah uang yang beredar pada teka-teki tersebut adalah tetap, yaitu Rp. $300.000$ .

Walaupun teka-teki tersebut biasanya hanya untuk selingan ketika kita ngobrol dengan teman-teman, di warung kopi misalnya, tapi teka-teki semacam ini bisa bermanfaat bila diterapkan di dunia pendidikan kita. Setidaknya, bisa digunakan untuk memancing siswa agar tertarik pada pelajaran matematika atau bahasa.

Lantas, apa saja guna teka-teki tersebut bagi dunia pendidikan kita, bagi siswa-siswi kita di sekolah? Bila memang berguna bagaimana menyajikannya?

Menurut saya, teka-teki semacam ini, selain dapat digunakan sebagai selingan pada pelajaran matematika, juga dapat digunakan pada pelajaran bahasa. Kenapa? Karena dalam teka-teki ini kecermatan penggunaan kata dan kalimat sangat berperan dalam memahami dan menyelesaikan masalah pada teka-teki ini.

Dengan perkataan lain, teka-teki ini selain mengajari kelihaian bermatematika juga mengajari keterampilan “bersilat kata” dalam pelajaran bahasa. Jadi, untuk kasus teka-teki ini, terlihat jelas kaitan antara pelajaran matematika dan bahasa, yang sama-sama merupakan “sarana” untuk berfikir, bersilat “angka” dan bersilat “kata” dalam waktu yang nyaris bersamaan***.

Oh, iya. Bisa jadi teka-teki semacam ini dapat digunakan untuk menarik minat masyarakat pembaca yang katanya pusing bila berhadapan dengan “angka-angka biasa” dalam matematika, tapi tidak pusing bahkan senang bila berhadapan dengan “angka-angka” yang terkait dengan uang. Mungkin teka-teki semacam inilah yang bisa dijadikan contoh bagi macam pembaca tersebut. Semoga!

Oh, iya lagi. Untuk kali ini saya sengaja tidak menyajikan ide dan cara bagaimana teka-teki ini disajikan ~~dengan menarik~~ pada siswa-siswi di sekolah. Oleh karena itu, saya nantikan pendapat Anda sekalian, khususnya bapak atau ibu guru matematika atau bahasa. Sekali-kali boleh juga bukan? Saya undang Anda untuk menyumbangkan ide dan sarannya, di kolom komentar tentunya. Atas sumbangan ide dan sarannya saya ucapkan terimakasih.

=======================================================

Ya sudah segitu saja ya untuk pertemuan kita kali ini. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Mudah-mudahan bermanfaat. Amin.

Catatan:

*Sumber: Kafe Ketawa Ketiwi , dengan modifikasi di sana-sini.

**Teka-teki yang serupa pernah disajikan di blog Buku Bekas.

*** Bila kita “teliti” lagi, teliti membaca teka-teki tersebut (yang saya modifikasi dari situs Kafe Ketawa Ketiwi), sebenarnya ada sedikit kejanggalan, yakni janggal karena melanggar “kebiasaan”. Apa itu? Ya, kejanggalannya itu begini. Biasanya, bila kita masuk untuk menginap di hotel, berdasarkan pengalaman, hampir tidak pernah langsung ditarik bayaran. Biasanya pembayaran hotel itu dilakukan bila kita akan keluar hotel. Betul?

Sumber : mathematicse.wordpress.com

Sejarah Angka Nol (Part 2)

Artikel ini adalah lanjutan dari Sejarah Angka Nol (Part 1).

“Sebelum bapak menjawab pertanyaan mu, Tom, bapak akan lanjutkan dulu sejarah tentang Brahmagupta dan angka nolnya! Ok?” tanya Pak Zero pada siswa-siswinya, khususnya Tom yang sudah bertanya.

“Yaaaaaaaaa……….. bapak, enggak asyik, ah!!!!” spontan Jerry berteriak, karena sejak tadi sudah tak sabar menahan rasa ingin tahunya. Kontan, seisi kelas melirik padanya. Jerry hanya bisa cengar-cengir disaksikan kawan-kawannya.

“Konon, walau angka nol dilambangkan berupa titik, Brahmagupta sudah secara sistematis mengenal sifat-sifat operasi bilangan dengan angka nol, khususnya operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.” kata Pak Zero melanjutkan kisah sejarah angka nolnya.

Pak Zero sengaja diam sebentar, menunggu reaksi murid-muridnya, apakah mereka menyimak dengan baik atau hanya terbengong-bengong saja. Pak Zero berharap ada siswa atau siswinya yang menanyakan tentang operasi pembagian dengan nol. Tapi, harapannya tidak terwujud. Para siswanya tetap diam, menantikan kelanjutan kisah sang angka nol.

Pak Zero tidak kehilangan akal. Untuk menggali sifat kritis para siswanya, dia memancing dengan pertanyaan.

“Ok, di antara kalian, coba siapa yang paling mengerti tentang angka nol dan sifat operasi-operasi padanya?”

Sejenak seisi kelas diam.

Tiba-tiba, Jerry kembali membuat ulah. “Pak, setahu saya, sejak SD dulu, si Udin tuh yang paling akrab dengan nol!”

“Maksud mu bagaimana Jerr?” tanya Pak Zero dengan tampak sabar, karena sebetulnya menahan rasa kesal.

“Maksudnya, setahu saya, si Udin sering sekali dapat nol dalam pelajaran matematika, Pak!!!

“Ha ha ha ha ha….” tanpa dikomando, hampir seisi kelas, kecuali Udin, tertawa mendengarnya. Untungnya, Udin tidak mudah sakit hati sebab sudah tahu sifat Jerry yang memang suka meledek dan bercanda sejak SD dulu. Jadi, Udin senyam-senyum saja, santai, sambil menunggu kesempatan membalasnya.:)

“Sudah-sudah! Jangan suka ngeledek! Yuk, kita lanjutkan ceritanya!” Pak Zero menengahi keadaan.

***

“Pak, apakah maksud dari sifat operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan nol itu?” tanya Rahma, siswi yang duduk paling depan, tepat di depan meja Pak Zero. Pak Zero yang semula akan melanjutkan kisah angka nol, mengurungkan sementara.

“Menurut mu bagaimana?” Pak Zero balik bertanya. Rahma tersenyum, berpikir, lalu mencoba mengungkapkan pendapatnya.

“Yang saya tahu sih, kalau bilangan ditambah atau dikurangi dengan nol, ya hasilnya bilangan itu sendiri!” jawab Rahma dengan penuh percaya diri.

“Bisa memberi contohnya?” lagi-lagi Pak Zero bertanya pada muridnya itu.

“Pak, saya bisa memberi contoh!” jawab Udin tanpa diminta. Sementara Rahma yang semula akan memberi contoh, tidak jadi mengungkapkan pendapatnya.

‘Misalnya begini, Pak. 4 + 0 = 4, 4 – 0 = 4, dan ini berlaku bagi bilangan lainnya, termasuk nol itu sendiri!” lanjut Udin memberi penjelasan.

Pak Zero: “Ok, bagus Din! Selanjutnya, bagaimana tentang perkalian dengan nol?”

“Itu sih, gampang, Pak. Kalau kita mempunyai sebuah bilangan, lalu dikali dengan nol, maka hasilnya, pasti nol! Contohnya, 4 x 0 = 0, 10 x 0 = 0, dan seterusnya!” jawab Dirman, mendahului Jerry yang sedari tadi ingin berpendapat.

Pak Zero: “Bagus Dirman!”

Sementara itu, sejak tadi Tom berpikir tentang pembagian angka nol. Dia mengalami kesulitan yang tak terpikirkan sebelumnya.

“Pak, kalau pembagian dengan nol bagaimana? Dari tadi, saya memikirkan, misalnya 4 : 0, lalu 0 : 4, tapi saya kesulitan menemukan jawabannya, Pak! kata Tom berpendapat, tepat sebelum Pak Zero menanyakan hal itu kepada siswa-siswi lainnya.

Pak Zero: “Ayo, siapa yang bisa jawab pertanyaan Tom?”

Kali ini, kelas terdiam sediam-diamnya. Tampak seluruh siswa berpikir, mencoba mencari tahu jawab pertanyaan Tom. Bahkan, Jerry yang biasanya berulah, kini memainkan pensilnya di atas kertas, mengutak-atik pembagian dengan nol.

Sementara itu, Pak Zero sabar menunggu reaksi siswa-siswinya sambil menandai daftar hadir dengan tanda ceklist, yang sedari tadi lupa dilakukan saat mengecek kehadiran siswa-siswinya.

Sepuluh menit waktu berlalu, belum juga ada reaksi dari Tom dan teman-temannya.

Pak Zero: “Ok, sudah 10 menit bapak menunggu. Tapi, belum ada jawaban dari kalian! Karena itu, pertanyaan Tom bapak jadikan PR buat kalian!”

“Yaaaaaaaaa, bapak!” serempak, kelas bergema, menandakan kekecewaan.

Pak Zero sengaja melakukan hal itu, agar siswa-siswinya sendiri yang menemukan jawaban atas rasa keingintahuan mereka. Sebuah proses pembelajaran yang konstruktif. Ini sesuai teori pembelajaran yang pernah dipelajari Pak Zero, di Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia (dahulu bernama IKIP Bandung), yakni teori konstruktivisme dalam pembelajaran.

Pak Zero: “Ok, ok, kalian jangan kecewa! Kalau kalian merasa sulit, itu biasa, tidak masalah. Bahkan Brahmagupta sendiri, sang matematikawan India itu, sungguh mengalami kesulitan tentang operasi pembagian dengan nol. Hingga akhir hayatnya, dia tak mampu menemukan jawab masalah ini! Karena itu, bila kalian dapat memecahkan masalah pembagian dengan nol, berarti kalian hebat!”

Demikian kata Pak Zero, menyemangati siswa-siswinya, agar tidak kecewa.

“Kalau begitu, apakah sampai saat ini masalah pembagian dengan nol belum terpecahkan, Pak?” kembali Tom bertanya.

Pak Zero: “Tentu sudah, Tom! Karena itu, pertanyaanmu bapak jadikan PR. Tugas kamu dan kawan-kawan adalah mencari tahu jawabnya. Entah di perpustakaan, atau di mana saja!”

“Pak, yang berhasil memecahkan masalah pembagian dengan nol, siapa Pak? Apakah orang biasa atau matematikawan juga?” tanya Rahma, yang juga penasaran ingin tahu.

Pak Zero: “Tentang masalah pembagian dengan nol, baru terpecahkan sekitar 10 abad setelah masa Brahmagupta. Adalah Newton dan Leibniz yang membahas masalah itu dan berhasil memecahkannya.” Demikian kata Pak Zero, sambil menuliskan kedua tokoh yang baru saja disebutnya di papan tulis: NEWTON & LEIBNIZ, abad 17.

“Pak, NEWTON itu siapa?” tanya Udin, yang terdengar lucu sebab menyebut Newton sesuai apa yang tertulis, bukan seperti cara baca yang dicontohkan Pak Zero (yaitu “nyu ton”).

“Udah dong Din, jangan bertanya-tanya hal lain dulu. Sejak tadi kan, kita ingin tahu sifat pembagian dengan nol. Lalu, sebelumnya kita juga belum tahu, siapa matematikawan yang pertama kali menggunakan lambang nol seperti yang kita gunakan sekarang!” sewot Jerry, yang rupanya makin penasaran karena makin banyak hal yang belum terceritakan oleh Pak Zero.

Pak Zero: “Ok, ok, akan bapak ceritakan lanjutan kisahnya. Ayo, dengarkan bapak baik-baik!”

Baru saja kelas mulai tenang dan para siswa siap-siap mendengar lanjutan kisah angka nol dari Pak Zero, tiba-tiba lonceng berbunyi dua kali, menandakan waktu pelajaran matematika hari itu telah habis.

‘Baiklah anak-anak sekalian, berhubung waktu habis, dongeng angka nolnya bapak lanjutkan pertemuan berikutnya ya….”

***

Catatan: Mudah-mudahan artikel ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin. Selamat menantikan kisah selanjutnya!

Dan, selamat menunaikan berbagai ibadah di bulan Ramadhan yang mulia ini.

Sejarah Angka Nol (Part 1)

Waktu itu adalah hari Senin. Hari pertama Tom dan kawan-kawan masuk sekolah. Hari pertama belajar di SMP Pembangunan, satu-satunya SMP di pinggiran suatu kecamatan di ujung barat pulau Jawa.

Menurut jadwal yang sudah ditetapkan, dan sudah dicatat oleh Tom saat masa orientasi siswa (MOS), pelajaran pertama hari Senin adalah matematika. Satu pelajaran yang disukainya sejak SD dulu.

***

Lonceng sekolah berbunyi empat kali. Menandakan jam masuk sekolah dan pelajaran pertama akan segera dimulai. Para siswa segera masuk kelas, duduk dengan rapi, menunggu guru matematika mereka.

Saat menunggu, Tom membayangkan guru matematika yang akan masuk adalah seorang yang guru yang sudah tua dan ditakuti siswa-siswinya. Tom pernah mendengar dari kakak-kakak kelasnya bahwa guru-guru matematika di SMP Pembangunan terkenal sangat galak, ditakuti, dan tidak disukai siswa-siswinya.

Tiba-tiba lamunan Tom terpecah karena mendengar ucapan salam dari sang guru matematika. Ternyata, yang dibayangkan Tom salah. Guru matematikanya ternyata masih muda, dan sepertinya adalah guru baru di SMP Pembangunan. Setelah berdo’a dan lain sebagainya, tiba giliran sang guru mengenalkan diri sebelum memulai pelajaran.

“Anak-anak sekalian, sebelum kita mulai pelajaran, bapak akan perkenalkan diri bapak dulu, lalu bapak pun ingin mengenal satu-persatu kalian! Nama bapak adalah Al Zero. Orang-orang biasa memanggil Zero, tapi ada juga yang memanggil Al. Kalau ada yang mau kalian tanyakan, bapak persilakan!”

Demikian Pak Zero memperkenalkan diri.

Sambil menunggu pertanyaan, Pak Zero berusaha mengenali siswa-siswinya, dengan memanggil satu persatu nama mereka dari daftar hadir yang beliau bawa.

Kelas masih diam, siswa-siswi Pak Zero rupanya masih enggan bertanya. Baru saja Pak Zero akan bicara, tiba-tiba muncul pertanyaan.

“Pak, kenapa nama bapak Al Zero? Apa artinya?”

Ya, itulah pertanyaan singkat yang diajukan Udin, kawan sebangku Tom. Pak Zero tidak langsung menjawab, sedikit tersenyum dan sepertinya berpikir untuk menjawabnya.

“Ok, terima kasih, pertanyaan yang bagus, Din! Mm…kalian, selain Udin, mau tahu juga?

Serentak, semua siswa Pak Zero mengatakan, “Mauuuuuuuu…”. Mulai saat itu, terjadilah proses pembelajaran matematika melalui tanya jawab seperti berikut ini.

Pak Zero: “Mmm…Zero adalah satu kata yang berasal dari bahasa Inggris. Mm… kalian sudah pernah belajar bahasa Inggris, kan?”

Tak ada siswa yang mengaku, kelas kembali terdiam. Semua siswa diam. Terdiamnya mereka karena memang tak ada satu pun di antara mereka yang pernah belajar bahasa Inggris. Sungguh berbeda nasib mereka dengan siswa-siswa yang ada di kota yang sejak SD sudah pernah belajar bahasa Inggris, baik melalui kursus atau dari sekolah.

Pak Zero baru sadar bahwa yang dihadapinya adalah siswa-siswi SMP, yang sewaktu SD belum pernah mempelajari bahasa asing, termasuk bahasa Inggris.

Pak Zero: “Ok, jadi, zero itu artinya nol! Ya, nol!

“Lalu, kenapa bapak dinamai Zero alias Nol?” tanya Dirman dengan rasa ingin tahu yang tinggi!

Pak Zero: “Orang tua bapak seorang pedagang yang cukup gemar membaca, khususnya tentang sejarah matematika. Saat ada dalam kandungan, orang tua bapak ingin sekali menamai anaknya dengan nama yang berasal dari istilah matematika.”

Para siswa menyimak dengan baik apa yang diceritakan Pak Zero.

Pak Zero: “Dari sekian banyak istilah matematika yang diketahui orang tua bapak, hampir semuanya tidak cocok untuk dijadikan nama. Mereka terus berpikir dan mencari, hingga, entah dengan sebab apa, orang tua bapak menamai bapak dengan Al Zero. Katanya sih, terinspirasi dari nama penyanyi terkenal, tapi nama itu erat kaitannya pula dengan sejarah matematika, khususnya tentang angka nol!”

“Kalau begitu, bapak tahu dong sejarah angka nol?” tanya Tom, tiba-tiba berani mengungkapkan rasa ingin tahunya.

“Iya, Pak, ceritakan tentang angka nol pada kami!” pinta Jerry, seorang siswa yang duduk di pojok kanan belakang kelas.

Pak Zero: “Ok, akan bapak ceritakan! Sekalian ini anggap saja sebagai pembuka topik yang akan kita pelajari nanti. Cerita ini cocok dengan pelajaran yang akan kita pelajari, yaitu tentang bilangan bulat!

“Horee… pelajaran matematikanya lewat dongeng!” kata Udin dalam hati. Udin pantas bergembira, sebab sejak SD dia memang kurang menyukai matematika, seringnya takut belajar satu pelajaran ini.

Pak Zero pun memulai ceritanya, tentang nol. Ya, tentang satu kata yang nyantel di namanya. Beginilah ceritanya.

“Konon, dibandingkan angka-angka yang lain, nol merupakan angka yang relative baru ditemukan! Menurut para ahli sejarah matematika, gagasan tentang nol pertama kali ditemukan di catatan Brahmagupta pada abad 7 Masehi.”

Udin: “Pak, Brahmagupta itu siapa?”

Pak Zero: “Brahmagupta adalah salah seorang matematikawan yang berasal dari negeri India. Ya negerinya tuan Takur, yang terkenal dalam film-film India itu!”

“Ha ha ha…” hampir semua siswa tertawa mendengar cerita Pak Zero, karena menyebut satu tokoh terkenal (bengis) dalam film India.

“Konon, di catatan Brahmagupta, angka nol dilambangkan tidak seperti sekarang. Lambangnya waktu itu baru berupa titik. Bukan bundaran seperti sekarang!”

“Berarti, bukan Brahmagupta dong yang menemukan angka nol? Lalu siapa, Pak, yang pertama kali menggunakan lambang 0 seperti sekarang?” tanya Tom dengan sangat kritis. Pertanyaan yang tak terduga, mengagetkan Pak Zero.

Apa tanggapan Pak Zero terhadap pertanyaan, Tom? Tunggu artikel selanjutnya. Sabar ya…

Untuk Kebersamaan

Teka-teki Matematika

Sejarah Angka Nol (Part 2)

Sejarah Angka Nol (Part 1)

Arsip Blog